Репетитор по математике и физике
ДРАЧЕВ Александр Яковлевич (г. Екатеринбург)


Муравей на резиновой ленте

Задача

Резиновая лента длиной 1 метр с одного конца закреплена, а другой конец тянут со скоростью 10 см/с. По ленте ползет муравей со скоростью 1 см/с. Доползет ли муравей до конца ленты? И если да, то за сколько времени?
|-----( )

Решение

Введем обозначения:
с — начальная длина ленты,   с = 1 м
v — скорость растягивания,   v = 0,1 м/с
α — скорость муравья относительно ленты,   α = 0,01 м/с

Скорость муравья в момент времени t — это его скорость относительно веревки,
т.е α плюс скорость веревки в точке, где находится муравей.
Конец ленты перемещается со скоростью v, поэтому во время t он находится
в точке x = c + vt.
Другие точки двужутся с пропорциональной скоростью. Поэтому, если мы обозначим позицию муравья в момент времени t как y(t), то для скорости y'(t) можно записать:
y'(t) = α + (vy(t) / (c + vt))

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка и его можно решить используя стандартные методы. Но можно решить уравнение проще, используя позицию муравья, как часть расстояния на ленте от начальной точки до конечной.
Рассмотрим координаты ψ измеренные вдоль ленты с начальной точкой ψ = 0 и конечной точкой в ψ = 1, в этих координатах все точки на ленте остаются в фиксированном положении (в терминах ψ), когда лента растягивается. Во время t точка x = X была в позиции ψ = X / (c + vt) и скорость α относительно веревки равна скорости α / (c + vt). Поэтому скорость муравья в терминах ψ во время t: φ'(t)
φ'(t) = α / (c + vt)

Проинтегрируем полученное уравнение
φ(t) = α / (c + vt) dt
φ(t) = α/v ln(c + vt) + k , где k — постоянная интегрирования.
При φ(0) = 0 получем k = −α/v ln(c).
Тогда φ(t) = (α/v) ln((c + vt)/c)
Ants
Если муравей достигает конца ленты (конечной точки φ = 1) во время t = T, то мы должны иметь φ(t) = 1 и значит
(α/v) ln((c + vT)/c) = 1
Отсюда находим T
ln((c + vT)/c) = v/α
(c + vT)/c = exp(v/α)
T = c/v (exp(v/α) - 1)

Подставляем числа. В нашем случае:
T = 1/0,1 (exp(0,1/0,01) - 1) = 10 (exp(10) - 1) =
10 * (22 026 - 1) = 220 250 сек

или T = 220 250 / 3600 = 61,2 часа



H © 2017– Репетитор по математике ДРАЧЕВ А.Я   Тел.: 8 912 665-13-27
партнеры: АРНИ СПОРТ. Профессиональные тренажеры и спортивное оборудование · БАЛЛОН-ТОРГ. Баллоны для газов · ГРУЗОПЕРЕВОЗКИ по городу и области · ПРОМАВТ СИСТЕМ. Автоматизация производства · ЭЛИТА ТРЭВЭЛ. Туристическая компания