Репетитор по математике и физике
ДРАЧЕВ Александр Яковлевич (г. Екатеринбург)


Муравей на резиновой ленте

Задача

Резиновая лента длиной 1 метр с одного конца закреплена, а другой конец тянут со скоростью 10 см/с. По ленте ползет муравей со скоростью 1 см/с. Доползет ли муравей до конца ленты? И если да, то за сколько времени?
|-----( )

Решение

Введем обозначения:
с — начальная длина ленты,   с = 1 м
v — скорость растягивания,   v = 0,1 м/с
α — скорость муравья относительно ленты,   α = 0,01 м/с

Скорость муравья в момент времени t — это его скорость относительно веревки,
т.е α плюс скорость веревки в точке, где находится муравей.
Конец ленты перемещается со скоростью v, поэтому во время t он находится
в точке x = c + vt.
Другие точки двужутся с пропорциональной скоростью. Поэтому, если мы обозначим позицию муравья в момент времени t как y(t), то для скорости y'(t) можно записать:
y'(t) = α + (vy(t) / (c + vt))

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка и его можно решить используя стандартные методы. Но можно решить уравнение проще, используя позицию муравья, как часть расстояния на ленте от начальной точки до конечной.
Рассмотрим координаты ψ измеренные вдоль ленты с начальной точкой ψ = 0 и конечной точкой в ψ = 1, в этих координатах все точки на ленте остаются в фиксированном положении (в терминах ψ), когда лента растягивается. Во время t точка x = X была в позиции ψ = X / (c + vt) и скорость α относительно веревки равна скорости α / (c + vt). Поэтому скорость муравья в терминах ψ во время t: φ'(t)
φ'(t) = α / (c + vt)

Проинтегрируем полученное уравнение
φ(t) = α / (c + vt) dt
φ(t) = α/v ln(c + vt) + k , где k — постоянная интегрирования.
При φ(0) = 0 получем k = −α/v ln(c).
Тогда φ(t) = (α/v) ln((c + vt)/c)
Ants
Если муравей достигает конца ленты (конечной точки φ = 1) во время t = T, то мы должны иметь φ(t) = 1 и значит
(α/v) ln((c + vT)/c) = 1
Отсюда находим T
ln((c + vT)/c) = v/α
(c + vT)/c = exp(v/α)
T = c/v (exp(v/α) - 1)

Подставляем числа. В нашем случае:
T = 1/0,1 (exp(0,1/0,01) - 1) = 10 (exp(10) - 1) =
10 * (22 026 - 1) = 220 250 сек

или T = 220 250 / 3600 = 61,2 часа



Рекомендуем посмотреть:
Решение квадратного уравнения      Задача о муравье на резиновой ленте
Решение системы линейных уравнений методом Гаусса      Задача на круги Эйлера
Простые числа      Число 142857      Гипотеза Пуанкаре      Великая теорема Ферма      Катастрофа шаттла «Челленджер»      Что такое квантовый компьютер?
Задача Лэнгли Новое     Гипотеза Коллатца Новое    

H © 2017– Репетитор по математике ДРАЧЕВ А.Я   Тел.: 8 912 665-13-27
партнеры: ЭЛИТА ТРЭВЭЛ. Туристическая компания · ГРУППА ЧТПЗ трубы, баллоны, оборудование для нефтедобычи · ПРОМАВТ СИСТЕМ. Автоматизация производства · АРНИ СПОРТ. Профессиональные тренажеры и спортивное оборудование · БАЛЛОН-ТОРГ. Баллоны для газов · МЕТТЕХ продажа стальных труб · ТИМ Теплоизоляция — плиты, маты · МЭРИ ПОППИНС детский сад